Dérivées de produit et quotient de fonctions Les exercices suivants proposent de déterminer les variations de sommes ou différences de fonctions usuelles. Il faudra ici calculer sa dérivée $f'$ et étudier son signe. Ces exercices font appel aux règles de dérivation suivantes :

$$ \begin{array}{ccc} (uv)'&=& u'v + uv' \\ \left(\frac{u}{v}\right)'&=& \frac{u'v - uv'}{v^2} \\ \end{array} $$

où $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables et $k$ est un nombre réel.
Produit ${\small uv}$ Calculer la dérivée et en déduire la variation de la fonction définie par :
$f(x) = ($ $x$ + $)\sqrt{x}$

Indice 1

 Dériver puis mettre au même dénominateur $2\sqrt{x}$

Indice 2

 Etudier le signe du numérateur par une inégalité.

Indice 3

 Le dénominateur est positif, mais n'est défini que sur $[0;-\\infinity[$

Indice 4

 $0$ n'est pas interdite pour $f$ mais l'est pour $f'$
Calculer la dérivée et en déduire la variation de la fonction définie par :
$f(x) = ($ $x^2$ + $x$+ ) $\sqrt{x}$

Difficulté :

Indice 1

 Dériver puis mettre au même dénominateur $2\sqrt{x}$

Indice 2

 Etudier le signe du numérateur (polynôme du second degré).

Indice 3

 Le dénominateur est positif, mais n'est défini que sur $[0;-\\infinity[$

Indice 4

 $0$ n'est pas interdite pour $f$ mais l'est pour $f'$
Quotient ${\small \frac{u}{v}}$ Calculer la dérivée et en déduire la variation de la fonction définie par :
$f(x)=$ $x$+

Indice 1

 Dériver en utilisant la formule $(\frac{1}{v})'=\frac{-v'}{v^2}$

Indice 2

 Le numérateur est un nombre réel, et le dénominateur est le carré d'une fonction affine.$ (fonctions affines).

Indice 3

 La racine du dénominateur est une valeur interdite
Calculer la dérivée et en déduire la variation de la fonction définie par :
$f(x)=$ $x$+ $x$+

Indice 1

 Dériver en utilisant la formule $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Indice 2

 Le numérateur est un nombre réel, et le dénominateur est le carré d'une fonction affine.$ (fonctions affines).

Indice 3

 La racine du dénominateur est une valeur interdite